$\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{(1 - x)}^2}}}} $ का मान है

यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

मान लीजिए $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. तो $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ का मान ........... है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से कम या उसके बराबर है,और $\{x\} = x - [x]$ है। तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $M$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\int_1^M \{x\}^{[x]} dx > 1$ हो।

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। तो,समाकलन $\int\limits_{0}^{1}\left[-8 x^{2}+6 x-1\right] d x$ का मान बराबर है

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।